SUMER ÇAĞINDA MATEMATİK

         Evren her zaman gözlerimizin önünde. Fakat onun dilini öğrenmeden ve bu dilin yazıldığı harfleri yorumlama bilgisi olmadan, bu evreni anlamamız olanaksızdır. Evrenin dili, matematiğin diliyle yazılmıştır ve bu dilin harfleri, üçgenlerden, çemberlerden ve öteki geometrik şekillerden oluşur. Bunlar olmadan, insanlar evrenin tek bir sözcüğünü anlamaz ve bunların yokluğunda, kendimizi karanlık bir labirentten çıkmaya çalışırken buluruz.

GALİLEO, 1623[1]

GİRİŞ: MATEMATİĞİN BİLİM ÜZERİNDEKİ KONUMU HAKKINDA BİRKAÇ SÖZ

             Matematik bilim değildir ama bilimin anahtarıdır.  Matematiğin bilim karşısındaki  konumunu en güzel ifade edenlerden biri Galile’dir. Bu yüzden onun veciz açıklamasını baş köşeye yerleştirerek söze başlamayı uygun bulduk.

          Matematiği doğru yerine konumlandırabilmek için mantık karşısında duruşuna da değinmek isteriz. Eski çağlarda matematik ve mantık iki ayrı disiplindi. Ama günümüze doğru yol alırken mantık matematikselleşti, matematik de “daha çok mantıksal” hale geldi ve sonuçta, ikisi arasındaki boşluk ortadan kalktı, ikisi bir oldu. Bertrand Russell, konuyu açıklamaya çalışırken, “mantık matematiğin gençliği ve matematik mantığın yetişkin halidir”, demiştir[2]. Eğer matematik ve mantık birlikte harmanlanmasaydı, daha kapsamlı bir deyişle, her iki disiplinin sınırları birbirlerini içine alacak şekilde genişlemeseydi ve genişleyen alan müşterek bir sinir sistemiyle donanmasaydı, bilgisayar çağı mümkün olmazdı.  Ne Ay’a gidilebilirdi,  ne de internete bağlanabilirdik. Bütün bunları mümkün kılan, matematikle mantığın evliliği ve bu evliliğin ürünlerinin bilimin yolunu açmasıdır. Matematik geliştikçe, anlamak, kavramak, özümsemek, sezmek, tahmin etmek, yorumlamak ve işe koşulacak bilgi üretmek kolaylaşmış, araştırma eylemi derinlik kazanmıştır.

         Eski çağlarda matematik, daha ziyade felsefeyle ve ilahiyatla iç içeydi. Bilginler evrenin sırlarını matematiği bir şifre sistemi olarak kabul ederek açıklamaya çalışırlardı.  Hatta matematiği doğrudan doğruya din olarak kabul eden matematikçiler bile vardı. Bunlar evrenin sırlarını tam sayılarla açıklanabileceğine inanırlar ve matematik bilgilerini bu yönde kullanırlardı. Asal sayıların (3, 5, 7, …, 17, 19 vs), mükemmel sayıların (6 ve 28 gibi) özel bir önemi vardı.

            Eski matematikçiler, bugünkü matematikçilere taş çıkartacak kadar sıkı matematikçiydi. Fakat karşılaştıkları sonuçları yorumlarken günümüz matematikçilerinden farklı düşünüyorlardı. Ne var ki zamanla söz konusu yorumların bir faydasının olmadığı anlaşıldı. Matematikçilerin dünyasında bu tür söylem ve inanışlar terk edildi. Ama terk edilen bu alan daha sonra aslında matematikçi olmayan bazı kimseler tarafından dolduruldu. Günümüzde, eski ustaların yüzyıllar önce terk ettikleri görüş ve düşünceleri sürdürenler bunlardır. Şifreciler, Hurufiler ve astrolog esnafı terk edilen söz konusu zemin üzerinde ısrar edenlerdir.

SAYMANLIK  EN AZ 20 BİN YIL ÖNCE DE VARDI

Matematik tarihindeki bu aşamaları anlayabilmek için, insanlık tarihinin bilinen ilk matematikçileri olan Sumerli matematikçilerden ve onların sanatlarından yola çıkmak gerekir.

Matematik  tarihini  bilmek veya tarihin akışı içerisinde bu alandaki gelişmeleri izlemek, bilim tarihini anlamanın da anahtarıdır. Matematik tarihi üzerinde söze başlamak için ise Sumer Çağı’na, yani günümüzden  5-6 bin yıl öncesine gitmek gerekir.

“Tarih Sumer’de başlar”, sözü yaygın olarak bilinen bir deyiştir. Bunun yanında, tarihin ilk rakamlarının da, ilk hesap yöntemlerinin de Sumer tabletlerinde görüldüğü bilinmelidir. Hatta matematik içeren tabletler, edebiyat içeren tabletlerden çok daha önceye tarihlenir.

Eldeki arkeolojik bulgular, matematiğin Sumer’de başlamadığına, insanlık tarihi kadar eski köklere sahip olduğuna işaret etmektedir. Hatta bazı canlıların da matematikçi olduğu, sayarak veya hesap yaparak iş gördükleri gözlemlenmiştir. Mesela arı ve örümcek tipik örneklerdir. Arı peteğini yaparken, örümcek ise ağını örerken geometri bilgisini bütün ihtişamıyla sergiler. İsteyenlere örümceğin ağını nasıl ördüğünü sergileyen bilgisayar animasyonunu gönderebiliriz. Belki bu sayede, bu konuya yakın ilgi duyan okuyucuları konunun içine çekmemiz mümkün olabilir.

ÖRÜMCEĞİN GEOMETRİ BİLGİSİ:

[youtube https://www.youtube.com/watch?v=v4zH_RAOgWQ&w=854&h=480]

Dünyanın çeşitli bölgelerinde mağaralarda yapılan kazılarda, MÖ 20 binlere ait kemikler üzerinde saymanlık amaçlı çentiklere rastlanmıştır. Söz konusu çentikler, Romalılar döneminde bile saymanlık amacıyla kullanılmaktaydı. Kemik üzerine çentik atmak şeklinde kayıt tutma aşamasından sonraki aşama tarihin ilk rakamlarıdır. İşte bu aşamada karşımıza yine Sumerliler çıkmıştır.

Dikkat edelim!

Sumer rakamları Roma imparatorluğu dönemine kadar 3 bin yıldan beri kullanıldığı halde Romalılar hala çentik atarak matematik yapmaktaydılar.

TARİHİN BİLİNEN EN ESKİ RAKAMLARI SUMERLİLERE AİTTİR

Tarihin ilk rakamları 6 tanedir. Bunlar 1, 10, 60, 600, 3600 ve 36000’dir. Sumerliler 60 ve 60’ın katlarıyla iş görürlerdi. Bu bilgi, ister istemez, neden 100 değil de 60 sorusunu akla getirmektedir.  Cevap basittir aslında.  Sumerliler 60 sayısını seçmiştir; çünkü bu sayının 12 tam böleni vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60. Buna karşılık 10 sayısının sadece 4 tam böleni vardır: 1, 2, , 5 ve 10. Ayrıca, dikkat edilirse, ilk altı sayı 60 sayısının tam bölenidir. Görüldüğü gibi, ilk rakamlar ve Sumer sayı dizgesi, bölüşme problemlerine cevap bulmak amacıyla kolaylaştırıcı niteliği dolayısıyla seçilmiştir. Bir başka deyişle, 60 sayısı tercih edilmiştir; çünkü en kullanışlı sayı odur.

Sumerlilerin yaptığı matematiksel işlemleri gösteren bir tablet

  Sumer okullarında öğrenciler için hazırlanmış bir çarpım cetveli

           Bu seçimin ilginç başka yönleri de vardır. 60 tabanlı sayı dizgesiyle saymak, iki elimizin parmaklarıyla saymak için de çok uygundur. Bunun nasıl yapıldığını “SUMER MATEMATİĞİ VE SAYILARIN GİZEMİ” adlı kitabımızda ayrıntılı resimlerle anlatmıştık.

60 sayısıyla ilgili bir başka ilginç konu, sadece pergel kullanarak bir çemberin çevresini 6 eşit parçaya bölme problemidir. Lise düzeyinde geometri bilgisiyle kolayca hatırlanabileceği gibi, pergelimizin ayağını çemberin yarıçapı kadar açtıktan sonra, çember üzerinde birbiri ardına yay parçaları işaretlersek, sonunda çemberi tam olarak 6’ya bölmüş oluruz. Bu işlem sonunda ortaya çıkan yay parçalarının çemberin merkeziyle belirledikleri açıya Sumerler 60 demişlerdir. Çemberin çevresinin 360 derece olmasının nedeni budur. Sumerliler, söz konusu 60 derecelik yay parçasını kutsamışlardır ve onu “Yukarının Tanrısına”, yani GÖK(AN)’e atfetmişlerdir.

Bir çemberin sadece pergel kullanarak 6 eş parçaya bölünmesi yöntem ve bir uygulama örneği

Sumer okullarında öğrenciler ilk olarak 60 tabanlı dizgede çarpım cetvelini ezberlemekteydi. Böyle bazı tabletler bulunmuştur. Bunun, bizim 10’lu dizgedeki ezberden daha zor olduğuna dikkat edilmelidir. Şunun da altını kalın çizgilerle çizmeliyiz ki, Sumerli matematikçiler, günümüzde orta öğrenim düzeyinde matematik bilgisine sahiptiler. Bilgileri asla daha geri değildi. Üçüncü dereceden denklemlerin çözüm yollarını bile bilmekteydiler. Bunu kanıtlayan MÖ 17. yüzyıla ait tablet bulunmuştur. Ayrıca geliştirdikleri sayı sistemiyle çok büyük sayılarla işlemler yapabilmekteydiler. Bunu kanıtlayan ve 60 tabanlı dizgede 20’nin 20. kuvvetini gösteren bir tablet bulunmuştur. Bu gibi yüksek sayılar, astronomiyle ilgili hesaplamalar için olsa gerekir. Yani matematik bir yandan astronominin yolunu açarken, diğer yandan gökbilimcilerin ihtiyaçlarına cevap verebilmek için gelişme ihtiyacını daima duymuştur.

SUMERLİLER MATEMATİĞİ KUTSAL BİR İŞ OLARAK GÖRÜRLERDİ

Sumerlilerin inanışında, matematikle kutsallık arasında birebir ilişki vardır. Günümüzde, teoloji alanında görülen Hurufi eğilimlerin kökeni neredeyse 5 bin yıl öncesine ve Sumerlilere kadar uzanır. Makalemizin çerçevesi bu konuyu enine boyuna incelemeye imkan vermiyor. Ama konuyu 12 sayısıyla ilgili birçok gerçeği sıralayarak burada biraz olsun açabiliriz. İşin daha kapsamlı incelemesini matematik tarihi ve matematik felsefesi bağlamında yayınladığımız Matematik ve İlahiyat adlı kitabımızda yer almaktadır.

Sumerlilerde 12 sayısı 60 sayısı yanında ikinci derecede önemlidir. Ama zamanla 60 sayısının önüne geçmiştir. Sumerli astronomların gözlemleri 12 sayısının Sumer inanışında özel bir yer edinmesini sağlamıştır.

Milattan önceki 4. binyılın sonlarına doğru, Sumerli rahipler, gözlem kulelerine tırmanarak yıldızların hareketini gözlerdi. Ünlü Zigguratlar, bu iş için geliştirilmiş gözlem kuleleriydi. Sumerli astronomlar, gözlem yaparlar, bunları tabletlere kaydederler ve daha sonra da bunları arşivlerlerdi. Söz konusu arşivlerden bazıları, içindeki belgelerle birlikte bulunmuştur.

Sumerlerin astronomi alanında kuramları da vardı. Bunlar  mitolojikti ama “kendi içinde tutarlı” idiler. Tarihin ilk gözlemcilerinin en fazla serseri yıldızlarla ilgilendikleri anlaşılıyor. Şimdi biz bunlara GEZEGEN diyoruz. Sumer çağında 5 serseri yıldız bilinirdi. Bunlar Merkür, Venüs, Mars, Jüpiter ve Satürn’dür. Sumerliler bunlara aynı sırayla Nabu, İştar, Nergal, Marduk ve Ninurta derlerdi.

Ur kenti ören yerinde bulunan ziggurat ve etrafındaki günlük faaliyetleri gösteren bir canlandırma. Zigguratlar, kentin ticaret merkeziydi.

Eğer dünyayı merkez kabul edecek olursak, yani yerinde durduğunu ve diğer gök cisimlerinin onun çevresinde döndüğünü kabul edecek olursak, yukarıda adını saydığımız serseri yıldızlar, sağa sola giden gelen, yerlerinde duramayan cisimler olarak algılanırlar. Oysa diğer yıldızlar, yani serseri sayılmayanlar, kutup yıldızı etrafında düzenli olarak çember biçimli bir yörünge üzerinde döner dururlar. Sumerliler, yerinde duramayan ışık topları olarak gördükleri serseri yıldızların, Gök Tanrı’nın düşüncelerini insanlara aktaran aracılar, başka bir deyişle, tercüman olarak değerlendirmekteydiler. Bilginlerin görevi, ulaşan  şifreleri çözmek ve özellikle,  gelecekle ilgili haberlere ulaşabilmekti.

Serseri yıldızların birbirlerine olan yakınlıklarına yahut uzaklıklarına, parlak olmalarına ya da soluk olmalarına ve gökte görülemedikleri dönemlere özel önem verilir ve aktardığı bilgilerin şifrelerinin çözülmesi için rahipler durmadan çalışırlardı. Her gezegenin bir anlamı olduğu gibi, her hareketlerinin de özel bir anlamı olduğuna inanılırdı. Günümüzde astrologlar işte bu malzemeyi kullanarak gelecekten haber verdiklerini öne sürüyorlar. Ama Sumerli gözlemcilerin çalışmaları bilimseldi; çünkü öncelikle gözleme dayanıyordu. Onları taklit eden günümüz astrologlarının iddiaları ise bilim dışıdır; çünkü bilim dünyasının ortaya çıkardığı kanıtlanmış en son bilimsel bilgileri görmezden gelerek mesleklerini icra ediyorlar.

GÖZLEMLER ve 12 SAYISI

          Sumerlilerin inanışında 12 sayısını öne çıkaran söz konusu gözlemlerdir. Şimdi bu gözlemleri şöyle bir özetleyelim:

1. Ay’ın Dünya çevresinde yılda 12 kez döndüğünü gözlemlediler.
2. Bir yılın, her biri 30 gün süren 12 aydan meydana geldiğini gözlemlediler. (Bir yılın 12 ay ve 360 gün olduğunu ifade eden tablet bulunmuştur. Bunlardan, her yıl ortaya çıkan 5-6 günlük farkı nasıl açıkladıklarını burada yer vermiyoruz. Ama bu konuda kafalarının epey karışık olduğunu söyleyebiliriz.)
3. Ay, günde 12 derecelik bir açısal mesafeyi tarıyordu.
4. Dünya (12 x 2) 24 derece eğimli olarak dönüyordu.
5. Burçlar Kuşağı denilen kuşak, kuzeyle 12 ve güneyle 12 derecelik açı yapan bir bant içinde yer alan yıldızlardan oluşmaktaydı.
6. Kutsal 60 sayısının 12 tane tam böleni vardı.
7. Kutsal 60; 10 ve 12 sayılarının en küçük ortak katıdır.
8. Jüpiter gezegeni güneş etrafındaki turunu 12 yılda tamamlıyordu. (Bugünün imkânlarıyla yapılan ölçümlere göre 11,9 yıl sürer.)
9. Astronomi dışından da bir bilgi ekleyelim: İnsanların kaburga kemikleri 12’si sağda 12’si solda olmak üzere 12 çifttir.

SUMERLİLER MATEMATİĞİN GÖKTEN İNDİRİLDİĞİNE İNANIRLARDI

         Sıraladığımız bu 9 özellik, Sumerli matematikçilerin 12 sayısını kutsamalarına neden olmuştur ve özellikle bu sayıyı “Tanrının bahşettiğine” inanırlar, “Gök’ten indirilen bilgi olan matematiğin” anahtar sayılarından biri olarak nitelerlerdi. Mesela Sumer panteonunda 12 tanrı yer alır.

Bir Sumer tabletinde, EN.ME.DUR.ANNA adlı bir ulu kişinin göğe çıktığından, Tanrılardan, sayılarla nasıl hesap yapılacağını öğrendikten sonra geri gelerek insanlara öğretmeye başladığından söz edilmektedir.

Sumerliler, bir yılı, bir günü ve Burçlar Kuşağı’nı 12’ye bölmüşlerdir. Bugün de bu bölümlendirmeyi kullanıyoruz ama bizim 2 saatimiz onların 1 saatine karşılık gelir. 12 sayısına verdikleri önemi gösteren bir başka bulgu, gerek uzunluk ölçüsü, gerek hacım ölçüsü ve gerekse de alan ölçüsünde 12 tabanlı bir sistem kullanmalarıdır. Diğer yandan, Sumerlilerin meslekler hiyerarşisi her biri 12 meslekten oluşan 3 kademeli bir yapıdır. Bu bölümlendirmelerin, inanışlarından kaynaklandığı kadar, matematiksel kolaylıkları dolayısıyla inanış çerçevesine alındığını da düşünmek gerekir.

SUMERLİLER ve GEOMETRİ

            Sumerliler, ileri derecede geometri bilgisine de sahiptiler. Bunu kanıtlayan birçok tablet bulunmuştur. Öklid geometrisinin belli başlı konularını kapsayan birçok analitik geometri problemi, 3 bin yıl önce Sumer okullarında öğrencilerin önüne konuyordu. Mesela öğrenci tabletlerinden birinde, alanı ve köşegen uzunluğu verilen bir dikdörtgenin eni ve boyu sorulmaktadır. Söz konusu problem iki bilinmeyenli ve iki denklemlidir. Ayrıca denklemler ikinci derecedendir.

Kanıt niteliğindeki diğer bir tablet, MÖ 17. yüzyıla aittir ve bir çember üzerine çizilen kirişlerin ayırdığı çember yaylarıyla ilgili çeşitli problemleri ve çözüm yollarını içermektedir.

MÖ 19. yüzyıla ait bir başka tablet üzerinde yamuk ve üçgenlerle ilgili 4 problem yer almaktadır. Bu problemler orta öğrenim kurumlarında Sumer kökenleri de dile getirilerek ders olarak okutulmalıdır.

MÖ 17. yüzyıla ait olduğu belirtilen diğer bir önemli tablet de 2’nin karekökünün nasıl bulunacağını gösteren bir geometri problemini içermektedir. Yine bir başka tablette, eşmerkezli iki benzer üçgenin arasında kalan alanın hesaplanması istenmektedir. Yine aynı döneme ait bir başka tabletten Sumerli öğrencilerin bir dik üçgen üzerinde birbirini izleyerek çıkarılan diklerin uzunluklarını gayet güzel hesaplayabildiklerini göstermektedir.

 

Eşmerkezli iki benzer üçgenin arasında kalan alanın hesaplanmasını gösteren Sumer tableti

TALES, PİSAGOR ve ÖKLİD SUMERLİLERİN ÖĞRENCİLERİYDİ.

            Bu satırların yazarı, Sumer matematiğinin gücünü ve Sumerlilerin uygarlık üzerindeki derin etkilerini ilk kez 1979 yılında, Irak’ta inşaat şantiyelerinde çalıştığı dönemde fark etti. Eğer bir hafta sonu tatilinde Babil müzesine gitmeseydi, aldığı olanca matematik eğitimine rağmen belki de Sumerlilerin matematiğe yaptığı katkıyı hiçbir zaman öğrenemeyecekti. Öğrenemeyecekti; çünkü eğitim sistemimiz, insanlığın bütün başarılarını Helen-Hıristiyan uygarlığına bağlayan bir söylemi sürdürüyordu. Söz konusu müzede sergilenen tabletler üzerindeki şekilleri incelediğimizde Sumer matematiğinin gücünü kavramak güç olmadı. Malumunuz, matematiğin dili evrenseldir, matematiği anlamak için Sumerce bilmek gerekmeyebilir.

O zamandan beri, yani 30 yıldır bu konu üzerinde durmaktayız. Sumer Çağı’nda bilim ve matematik konusunda ne zaman bir yayın yapılsa, eğer farkındaysak, onu bulur ve üzerinde çalışırız. Bu bağlamda üzerinde çalıştığımız konulardan biri de Grekçe yazmış olan ve Grek oldukları öne sürülen matematikçilerdir. Bunlardan üçü diğerlerine göre daha önde dururlar. Bunlar Tales, Pisagor ve Öklid’dir. Bizim okullarımızda da bunlar öğretilir ve örtük biçimde matematik Greklere bağlanır. Oysa matematiğe gerçekten de çok önemli katkılarda bulunmuş olan bu üç şahsiyetin hayat hikayesi, uygarlığı Greklere bağlama ideolojisinin gerçeklerden ne kadar uzak olduğunu göstermeye yeterlidir. Daha doğrusu, meğerse onların dile getirilmeyen hayat hikayeleri, zaten Sumerlileri işaret etmekteymiş. İdeolog sözde bilim tarihçileri, bu gerçekleri ustalıkla gözden uzak tutarak işlerini yürütmekteymiş.

İşin en çarpıcı yanı, her üç matematikçinin de Doğu’da öğrenim görmüş olmasıdır.

Tales’den başlayalım.

MÖ 624-547 yılları arasında yaşamış olan Tales, Anadolu’da Milet’te yaşayan bir tüccardı. Babil’ de ve Mısır’da bulunmuştur. Aslen Grek değildir. Kendi çağına ait bir eserde, babasının tek kelime Grekçe bilmediği bilgisi yer almaktadır. Çünkü ailesi Fenikeliydi. Milet’e göçmen olarak gelmişlerdi. MÖ 4. yüzyılda Matematik Tarihi adlı bir eser bırakan Rodoslu Eudemos, Tales hakkında şöyle demektedir[3] :

“Nasıl Fenikelilerle ticaret ve mübadeleden ötürü sayıların tam olarak bilinişi başlamışsa, Mısırlılarda da geometria bulunuyor. Tales, Mısır’a gelerek ilk kez bu bilimi Hellas’a götürüyor.”

Nitekim başka eserlerde de Tales’in geometriyle Mısır gezisi sırasında tanıştığı söylenir.

Diğer önemli matematikçi Pisagor’dur.

MÖ 582’de dünyaya gelene Pisagor, Tales’in çağdaşıdır. Üstelik Tales’in komşusu sayılır. Tales’in Miletli olmasına karşılık Pisagor Sisamlıdır. Babası çok zengin bir mücevherciymiş. Oğlunun iyi bir matematik eğitimi alması için çağının bilinen en iyi hocalarını tutmuş. Pisagor, kısa zamanda hocalarını aşmış ve gönlünü tam anlamıyla matematiğe kaptırmış ve yaşadığı toprakları terk ederek matematiğin doğduğu yere, Babil’e gitmiş. Yıllarca kalmış. Daha sonra İran’a, oradan da Hindistan’a gitmiş. Sonra geri dönerek Mısır’da yıllarca dirsek sürtmüş. Orada Memfis rahiplerinin öğrencisi olmuş. Matematiğin peşi sıra giderken ülkesine ancak 18 yıl sonra dönebilmiş. Hayatının bundan sonrasını, Doğu’da öğrendiklerini Batı’da uygulamakla geçirmiş. Pek çok öğrenci yetiştirmiş. Hatta tanrısı geometrici olan Tek Tanrılı bir din bile kurmuş.

Üçüncü olarak Öklid’den söz edeceğiz.

MÖ 330-275 yılları arasında yaşamış olan Öklid, zaten İskenderiyelidir.  Hayatı hakkında başka da bir şey bilinmemektedir. Tek bilinen, matematik alanında bıraktığı eserlerdir. Stoikheia (Elemanlar) adını verdiği 13 kitap ona ait kabul edilir. Bu eserleri, kendisinden önceki matematikçilerin eserlerini derlemek için yazmıştır. Batılı bilim tarihçilerine göre, onun çalışmaları, geometriyi aksiyomatik[4] bir başlangıçtan hareketle “ispat” amaçlı sistematik bir yapıya kavuşturmayı hedeflemiştir. Yüzyıllardan beri deneysel ve gözlemsel (ampirik) olarak doğruluğu bilinen bilgileri “mantıksal ispat” katına çıkarmayı onun başardığı söylenir. Onun muazzam katkısını göz ardı etmeyi doğru bulmayız. Ne var ki başarıyı sadece ona mal ederek matematik üzerinde Sumerlilerin ve Mısırlıların katkısının görmezden gelinmesini hiç doğru bulmayız. Nitekim Öklid’den önce de çeşitli derlemeler yapılmıştır ve ispat fikri önce de vardı. Hatta ispat fikri Tales’te de görülür. Mesela, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu ispatlamıştır.

Özellikle 19. yüzyıl sonları ve 20. yüzyıl boyunca Sumer tabletleri üzerinde yapılan incelemeler, matematiğin kökenlerinin Sumerlilere dayandırmak gerektiğini kanıtlamaktadır. Kesin kanıtlardan biri Pisagor sayıları olarak anılan sayıları içeren tablettir. Hatırlanacağı üzere Pisagor’un adıyla anılan bir teorem[5], bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğunun karelerinin toplamının, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu söylemektedir. Sözgelimi, dik kenar uzunlukları 3 ve 4 olan bir üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 5’dir. Çünkü 3’ün karesiyle 4’ün karesinin toplamı 25 eder ve bunun da karekökü 5 eder. Yani hipotenüs 5 birim uzunluktadır. İşte söz konusu üçgeni tanımlayan 3, 4 ve 5 sayı gurubuna Pisagor sayıları denir. (8, 15, 17) ve (7, 24, 25) ve (9, 40, 41) sayıları da Pisagor sayısıdır. Bu sayılar sonsuza kadar çoğaltılabilir. Ne var ki bu sayıların sadece Pisagor’a dayandırılması doğru değildir. Çünkü söz konusu 3’lü sayılar, MÖ 17. yüzyıldan kalan ve Tel Harmal’da gün yüzüne çıkartılan bir tablet üzerinde yer almaktadır.

Babil Müzesi soyulmazdan önce (soygun işgal kuvvetlerinin planlı bir eylemine benziyor), hemen kapı girişinde teşhir edilen ve dik üçgenlerde dik kenardan hipotenüse çıkarılan dikin uzunluğunun nasıl hesaplandığını gösteren tablet, geometrinin Sumer kökenleri konusuna başlı başına bir kanıttır. Çalınma olayı bu kanıtı şimdilik ortadan kaldırdı. Ama fotoğraflar ortadadır. Bu satırların yazarı da bu tabletin göz şahididir.  Yine Pisagor’la ilgili bir örnek daha verebiliriz. Pisagor’un ve onu izleyenlerin önemli uğraşlarından biri kök 2’nin nasıl hesaplanacağı konusudur. Oysa bu problemi içeren tablet MÖ 17. yüzyıla aittir ve Sumer ören yerlerinde bulunmuştur.

 Sumerlilerin 2’nin karekökünü nasıl hesapladıklarını açıklayan tablet

Araştırmalarımızdan sonra vardığımız hükümlerin kanıtlarını SUMER MATEMATİĞİ ve SAYILARIN GİZEMİ adını verdiğimiz kitabımızda renkli olarak tek tek yayınladık. Kitap, devlet kütüphanelerinde incelenebilir. Ayrıca internet üzerinden satış yapan merkezlerden de temin etmek mümkündür. Bu makalemizde kanıtlarımızın tamamını sergileyemediğimiz için bu açıklamayı zorunlu olarak yapıyoruz.

NOTLAR

[1]  Richard Mankıewicz, Matematiğin Tarihi, Güncel Yayıncılık, 2002, Sayfa 145

[2]  Bekir S. Gür, Matematik Felsefesi, Kadim Felsefe Yayınları, 2004, Sayfa 91

[3]  Orhan Hançerlioğlu, Felsefe Ansiklopedisi, Düşünürler Bölümü 2. cilt, sayfa 317

[4]  Aksiyomatik: Sezgilerimiz yardımıyla ispatsız olarak doğruluğunu kabul ettiğimiz bazı temel kavram ve önermelerden yola çıkarak kurulan bilimsel düşünme yöntemi. Örnek: “Herhangi iki nokta arasındaki en kısa yol doğru parçasıdır.”, “Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.”

[5] Teorem: Matematik ve mantıkla kanıtlanması istenen önerme